مکاترونیک

تئوری :

تغيير شکل يک شفت مدور

شفت مدوري را كه از يك انتهايش به تكيه گاه ثابتي متصل است در نظر بگيريد. اگر گشتاور T به انتهاي ديگر اين شفت اعمال گردد شفت پيچش خورده و انتهاي آزاد آن به اندازه زاويه Ø مي چرخد، اين زاويه را (زاويه پيچش) مي نامند. آزمايشات و مشاهدات انجام يافته نشان مي دهند كه در يك محدوده مشخصي از گشتاور T، زاويه پيچش Ø‌ با طول L شفت نيز متناسب مي­باشد يعني اگر ما دو شفت داشته باشيم بطوريكه اين دو شفت از هر نظر با هم مشابه بوده ولي طول يكي دو برابر ديگري باشد، با اعمال گشتاورهاي يكسان به انتهاي آن­ها ملاحظه مي­شود كه زاويه پيچش شفت­ها متفاوت است. تجزيه تحليل اين مطلب عبارت از پيدا كردن رابطه اي بين T و Ø  است.

در اينجا بايد يك خاصيت مهم شفت­هاي مدور را ذكر كنيم.  موقعي كه يك شفت مدور تحت بار پيچشي قرار مي­گيرد، تمام مقاطع آن يكنواخت و بدون آشفتگي باقي مي­مانند. به عبارت ديگر با وجود اينكه مقاطع مختلف شفت در طول آن به اندازه هاي مختلفي پيچش مي­خورند، ليكن هر مقطع آن بطور يكپارچه و جامد مي­چرخد. اين مطلب را توسط شفت الاستيكي كه تحت پيچش قرار گرفته ملاحظه مي­نماييد. اين خاصيت مختص شفت­هاي مدور (خواه توپر و خواه توخالي) مي­باشد. بنابراين شفت­هایي كه داراي مقطع غير مدور هستند، داراي این خاصيت نيستند. به عنوان مثال موقعي كه شفتي با سطح مقطع مربعي شكل تحت بار پيچشي قرار مي­گيرد، مقاطع مختلف آن كج شده و حالت يكنواخت خودشان را از دست مي­دهند.

يكنواخت ماندن مقاطع شفت­هاي مدور تحت بار پيچشي به اين دليل است كه شفت­هاي مذكور متقارن هستند. به عبارت ديگر اگر شفت مدور را يكدور كامل (يا بيش­تر) حول محورش دوران داده و حين دوران از يك نقطه ثابت به آن نگاه كنيم،  ملاحظه مي­شود كه شكل يا ظاهر آن ثابت مي­ماند. ولي در مورد شفت­هاي مربعي، ظاهر شفت به ازاي 90 يا 180 درجه از دوران آن ثابت نمي­ ماند.

نقاط C و D موجود در محيط مقطع داده شده از شفت را درنظر بگيريد. فرض کنيد بعد از پيچش شفت نقاط مذکور به  حرکت کنند. به دليل متقارن بودن شفت و بار می­توان گفت چرخشی که نقطه D را به C منتقل کرده بايد الان نقطه  را به  منتقل کند . لذا  بايد در روی محيط يک دايره بوده و کمان مساوی کمان CD باشد ، حال بررسی می­کنيم که آيا دايره ای که  در روی آن است متفاوت از دايره اصلی است يا نه. اجازه دهيد فرض کنيم  در روی يک دايره ديگر (غير از دايره اصلی) قرار داشته و اين دايره جديد در سمت چپ اصلی قرار دارد.  همين حالت برای تمام مقاطع شفت صادق است  زيرا تمام مقاطع آن تحت گشتاور داخلی T يکسانی قرار می­گيرند و ناظری که از انتهای A شفت بر آن نگاه می­کند ، چنين نتيجه می­گيرد که بار اعمالی بر شفت، موجب دور شدن دواير رسم شده در روی شفت از او (ناظر) می­شود. ولی ناظری که در نقطه B قرار دارد با اينکه بار اعمالی بر شفت از نظر اين ناظر يکسان است، چنين نتيجه می­گيرد که دواير مذکور از او دور می­شوند. اين تضاد ثابت می­کند که فرض ما غلط بوده است و C و D  در همان دايره ای که نقاط  قرار دارند، واقع هستند. بنابراين، موقعی که شفت پيچانده می­شود ، دايره اصلی فقط درصفحه خودش میچرخد. چون همين استدلال در مورد هر دايره کوچک­تر متحد المرکز موجود در روی مقطع شفت صادق است لذا نتيجه می­گيريم که کل سطح مقطع شفت بطور مساوی باقی می­ماند.

بحث فوق با اين مطلب که دواير مختلف موجود ممکن است در اثر اعمال بار پيچشی به شفت به اندازه­های مختلفی بچرخند، تضادی ندارد ولی اگر اينطور بود، قطر يک سطح مقطع داده شده از شفت بايد مطابق شکل آشفته شده و بصورت منحنی در می­آمد. اگر ناظر مستقر در نقطه A به اين منحنی نگاه کند چنين نتيجه می­گيرد که لايه­های بيرونی مقطع شفت بيش­تر از لايه­های داخلی پيچيده (چرخيده) است، در حالي که ناظر مستقر در B به عکس نتيجه مذکور می­رسد. اين تناقض دليل بر راست ماندن قطر مربوطه به مقاطع شفت می­باشد و راست ماندن قطر نيز به نوبه خود دال بر مساوی ماندن (آشفته نشدن) سطح مقطع شفت است.

بحث ما تا اينجا مشتمل از روش اعمال کوپل­های پيچشی T و  بوده است و برای اينکه تمام مقاطع شفت (از يک انتهای آن تا انتهای ديگر) بطور مساوی و غير آشفته بماند لازم است کوپل­های اعمالی طوری بر شفت اثر کنند که انتهای شفت مساوی و غير آشفته بماند. اين منظور را می­توان با اعمال کوپل­های T و  به صفحات صلب متصله به دو انتهای شفت بر آورده کرد . در اين شرايط ما می­توانيم از باقی ماندن مقاطع شفت بصورت مساوی و غير آشفته و هم­چنين از يکنواخت بودن تغيير شکل­های ايجاد شده در تمام طول شفت اطمينان حاصل کنيم.

حال كرنش­هاي برشي شفتي بطول L و شعاع C را كه به اندازه زاويه Ø پيچانده شده را تعيين مي­كنيم.  قبل از اعمال بار، استوانه­اي به شعاع ρ از شفت را جدا كرده و يك المان كوچك در روي سطح اين استوانه در نظر مي­گيريم. المان مربعي مذكور توسط دو دايره مجاور و دو خط راست مجاور تشكيل مي­شود. به محض اينكه اين شفت تحت بار پيچشي قرار گيرد، المان مربعي شكل مذكور بصورت لوزي درمي­آيد.

كرنش برشي γ مربوط به يك المان داده شده را مي­توان از طريق اندازه گيري تغيير زواياي اضلاع تشكيل دهنده آن بدست آورد. چون دو دايره اي كه دو ضلع از المان را تشكيل مي­دهند بدون تغيير مي­مانند، لذا كرنش برشي γ  بايد مساوي زاويه بين خطوط AB و َB َA باشد (بطوريكه مي­دانيد واحد γ بايد برحسب راديان بيان شود).

 γ و Ø بر حسب راديان هستند. معادله بدست آمده، بطوري كه ما انتظارش را داشتيم، نشان مي­دهد كه كرنش برشي γ در يك نقطه مربوط به شفت تحت پيچش با زاويه پيچشي Ø متناسب است. به عبارت ديگر، كرنش برشي در يك شفت مدور بطور خطي با تغييرات فاصله از محور شفت تغيير مي­كند.

با استفاده از معادله بالا مي­توان نشان داد كه مقدار كرنش برشي در سطح شفت،  ماكزيمم است. 

با حذف Ø از معادلات قبل مي­توان كرنش برشي γ را در فاصله ρ از محور شفت  بيان كرد :

تنش­ها در ناحيه الاستيك :

تا اينجا براي شفت­هاي مدور تحت پيچش، هيچ رابطه ويژه­اي بين تنش و كرنش فرض نشده­ است. اكنون حالتي را در نظر بگيريد كه تنش­هاي برشي بوجود آمده در شفت بر اثر اعمال گشتاور T از استحكام سيلان  كوچك­ترند. بطوريكه ذكر شد منظور از حالت فوق اين است كه تنش­هاي شفت در حدي پايين­تر از حد تناسب و در حد الاستيك باقي مي­مانند. و در اين حالت قانون هوك در مورد شفت صادق بوده و هيچگونه تغيير شكل دايمي در آن به وجود نخواهد آمد.

 G عبارتست از مدول صلابت يا مدول برشی ماده 

معادله بدست آمده نشان مي دهد تا زمانيكه مقدار تنش اعمالي در هيچ نقطه اي از شفت مدور از حد سيلان (حد تناسب) تجاور نكرده، تنش برشي در شفت بطور خطي با تغييرات فاصله از محور شفت  تغيير خواهد كرد.

اکنون از قبل به ياد می آوريم که مجموع ممانهای نيروهای کوچک عامل بر هر يک از مقاطع شفت بايد با مقدار گشتاور T  عامل بر شفت مساوی باشد 

زاويه پيچش در ناحيه الاستيک

فرض می­کنيم که کل شفت به طور الاستيک باقی می­ماند. در مرحله اول شفتی به طول L و به شعاع مقطع يکنواخت C را در نظر می­گيريم . انتهای آزاد شفت مزبور تحت گشتاور T قرار گرفته است رابطه بين زاويه پيچش  و کرنش برشی ماکزيمم  ...

ولی در ناحيه الاستيک ، مقدار تنش در هيچ نقطه شفت از حد سيلان تجاوز نکرده است ، قانون هوک صدق کرده  ...                            

در اين معادله  بر حسب راديان بيان می­شود. اين رابطه نشان می­دهد که در ناحيه الاستيک، زاويه پيچش  با گشتاور T اعمالی بر شفت متناسب است. اين حکم موافق آزمايش مذکور می­باشد .

نمونه ای از اين ماده به شکل يک مفتول استوانه ای با قطر و طول معلوم در يک ماشين آزمايشگر پيچش سوار شده است .

روش آزمايش :

1- نمونه مناسب ( فولادی ، استيل ، برنجی ، .... ) را انتخاب کنيد .

2- طول مناسب برای نمونه آزمایش را با جابجا کردن صفحه مرغک­ها تعیین نمایید. توجه داشته باشید که طول موثر میله عبارت است از فاصله بین نوک دو مرغک.

3- نمونه آزمایش را با رد کردن از سوراخ پشت مرغک سمت چپ داخل دستگاه کرده و سپس وارد مرغک سمت راست نمایید.

4- سه نظام هر دو مرغک را کاملا محکم نمایید.

5- مطمئن شوید که سه نظام مرغک و پیچ صفحه مرغک­ها کاملا سفت شده باشند تا در نتیجه لقی احتمالی سیستم خطا ایجاد نگردد.

6- نمایشگر را روشن نموده و با فشردن دکمه Zero روی آن اعداد نمایش داده شده را صفر کنید.

7- کفه بارگذاری را از شفت مربوطه آویزان کنید. (وزن کفه برابر است با   )

8- روی کفه بارگذاری کرده و زاویه نمایش داده شده توسط نمایشگر را یادداشت نمایید.

9- آزمایش را برای چند بارگذاری انجام دهید.

10-    طول موثر میله را تغییر داده و آزمایش را با بارگذاری های متفاوت انجام دهید.

6- محاسبات و خواسته ­های آزمايش :

1- در هر نقطه نمودار T بر حسب  را رسم نماييد و از روی آن مقدار G را محاسبه نماييد .

1-1 – معادله خط رگراسيون T بر حسب  را بصورت                                     T = A + B

نوشته و مقادير A و B را با استفاده از ماشين حساب يا روش های عددی محاسبه نماييد .

2- با دانستن جنس نمونه های متفاوت ، درصد خطای آزمايش را محاسبه نماييد .

3- منحنی T بر حسب  در حالت تئوری را با دانستن G تئوری در نقاط آزمايش رسم نماييد .

محاسبات:

 چون نمونه آزمایش از جنس استیل S316 می­باشد که مدول برشی آن 72Gpa است، ابتدا فاصله بین دو مرغک را 0.5m قرار می­دهیم و با تغییر گشتاور زوایای مختلف را بدست می­آوریم و رسم نمودار و محاسبه شیب آن مدول برشی را محاسبه کرده و با مدول برشی استیل مقایسه می­کنیم.